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sexta-feira, 22 de abril de 2016

Quer ficar milionário? Resolva um dos problemas matemáticos do século


No ano 2000, o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio para quem conseguisse resolver um dos sete dos maiores problemas não resolvidos da matemática. O valor do prêmio é de US$ 1 milhão por problema. Até à data, apenas um dos sete problemas foi resolvido. 

Os sete problemas são chamados de Problemas do Prêmio Millennium. São eles:

1 - P versus NP 

Proposto por Stephen Cook em 1971, é considerado um problema crucial no campo da Lógica e da Ciência da Computação. O problema pergunta se a classe de algoritmos do tipo P é igual à classe dos algoritmos do tipo NP. 


Na prática, a tarefa pode ser traduzida pela atividade proposta pelo Instituto Clay: você precisa organizar as acomodações de um grupo de 400 estudantes universitários, mas apenas 100 estudantes receberão lugares no dormitório, pois não há espaço para todos. 

Para complicar, o reitor lhe forneceu uma lista de pares de estudantes que não podem ficar juntos. Diz o regulamento do prêmio do milênio: 'este é um exemplo que os cientistas denominam uma NP-problema, uma vez que é fácil verificar se uma dada escolha de 100 estudantes proposta é satisfatória (isto é, verificar se nenhum par da lista pronta aparece na lista do reitor), porém a tarefa de gerar uma lista desse tipo a partir do zero parece ser tão difícil quanto completamente impraticável'. Ou seja, é possível checar uma lista por uma, mas não se chegou a um cálculo que garanta que o resultado final contemple os dois critérios.


A Conjectura de Hodge afirma que as variedades projetivas algébricas são combinações lineares racionais de ciclos algébricos.

Para entender formas geométricas mais complicadas, uma boa saída é aproximá-las a formas mais simples. Essa ideia é tão útil que foi utilizada em larga escala e chegou ao ponto de se perder a noção de construção geométrica. 
Baseado nessa teoria, o americano William Vallance Douglas Hodge afirmou, em 1950, que as equações capazes de descrever formatos cíclicos em várias dimensões são combinações de formas geométricas mais simples, similares a curvas. Prove que ele estava correto (ou não) e ganhe US$ 1 milhão.

3 - A Conjectura de Poincaré - JÁ RESOLVIDO EM 2010
Estabelecida pelo matemático francês Henri Poincaré há quase 100 anos, afirma que a esfera de três dimensões é essencialmente caracterizada pela sua propriedade de ser simplesmente conexa. 

O cérebro humano só consegue perceber três dimensões, representadas por profundidade, largura e comprimento. No entanto, sabe-se que existem outras dimensões, e isso é provado matematicamente. Acontece que a Hipótese de Poincaré, conhecida como problema da laranja na quarta dimensão, deixa justamente essa dimensão de fora. 

Imagine uma laranja ou mesmo o planeta Terra. Um ponto na parte superior da laranja, ou o polo da Terra, pode ser ligado a qualquer ponto da superfície por um único meridiano. Além disso, todos esses meridianos se cruzam apenas em um único outro ponto, que seria o Polo Sul. Com objetos que têm três dimensões, como é o caso da laranja, não é difícil. Mas a topologia, ramo da matemática criada por Poincaré, trabalha com objetos de n dimensões. 

O modelo proposto pelo matemático servia para qualquer número de n, exceto o quatro. Até que, em 2010, o Instituto Clay anunciou que a solução havia sido encontrada pelo russo Grigory Perelman, que se recusou a receber o prêmio de US$ 1 milhão.

Alguns números têm uma propriedade especial que não pode ser expressa como o produto de dois números menores, por exemplo, 2, 3, 5, 7, etc. Tais números são chamados números primos e desempenham um papel importante para a matemática pura e suas aplicações. A distribuição de tais números primos entre todos os números naturais não segue qualquer padrão regular. No entanto, o matemático alemão Georg Bernhard Riemmann acreditou ter finalmente descoberto a fórmula matemática para se descobrir os números primos, ele observou que a freqüência de números primos é muito estreitamente relacionada com o comportamento de uma função elaborada chamada de Riemann Zeta:

     ζ (s) = 1 + 1 / 2s + 1 / 3s + 1 / 4s + ...

A questão é que não se encontrou um meio de provar sua correção senão submetendo cada número ao teste. Isso já foi feito com os primeiros 1,5 bilhão de números e continua correta, mas ainda é pouco para se provar que ela é totalmente verdadeira. 
Quem conseguir provar que a hipótese é mesmo verdadeira ou está totalmente errada - lembre-se, basta que um dos números não encaixe - vence o desafio da hipótese de Riemmann.


A equação de Yang-Mills estabelece relações entre propriedades físicas das partículas elementares e propriedades matemáticas de certos objetos geométricos. O problema consiste em descobrir soluções desta equação que expliquem certos fenômenos físicos.

Yang e Mills introduziram um quadro novo notável para descrever as partículas elementares usando estruturas que também ocorrem em geometria. Tal teoria foi testada em vários laboratórios experimentais, mas a sua fundação matemática ainda é incerta. Quem descobrir uma teoria matemática que sustente a teoria física será o mais novo milionário do mundo.


Matemáticos e físicos acreditam que uma compreensão profunda das equações de Navier-Stokes permitam descrever e prever fenômenos da dinâmica de fluidos, com aplicações à aerodinâmica e à meteorologia, dentre outras.
Claude Navier e George Stokes, no século 19, bem que tentaram, mas as equações deixadas por eles só confundem ainda mais os pesquisadores. O desafio é fazer progressos substanciais em direção a uma teoria matemática que irá desvendar os segredos escondidos nas equações de Navier-Stokes, que tentam explicar as ondas de um lago e as correntes de ar ao redor de um avião.


Partindo do Teorema de Fermat, que afirma que a soma de um número inteiro qualquer elevado à enésima potência com outro número qualquer elevado à mesma potência dá como resultado um terceiro número elevado à mesma potência (ou, se você preferir: xn + yn = zn) só tem resultado se n for igual a dois.

Para qualquer outro número de n, a equação não é solucionável, exceto para casos especiais. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer tenta justamente estabelecer essas exceções.

Site oficial do Clay Mathematics Institute
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